Question

9．将两块全等含有30°的直角三角板如图①摆放．

（1）将图①中的△A₁B₁C顺时针旋转45°得图②，点P₁是A₁C与AB的交点，点Q是A₁B₁与BC的交点，求证：CP₁=CQ；
（2）在图②中，若AP₁=2，则CQ等于多少？
（3）如图③，在B₁C上取一点E，连接BE、P₁E，设BC=1，当BE⊥P₁B时，则△P₁BE面积的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 （1）先判断∠B₁CQ=∠BCP₁=45°，利用ASA即可证明△B₁CQ≌△BCP₁，从而得出结论．
（2）作P₁D⊥CA于D，在RtADP₁中，求出P₁D，在Rt△CDP₁中求出CP₁，继而可得出CQ的长度．
（3）证明△AP₁C∽△BEC，则有AP₁：BE=AC：BC=$\sqrt{3}$：1，设AP₁=x，则BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，得出S_△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可．

解答 （1）证明：∵∠B₁CB=45°，∠B₁CA₁=90°，
∴∠B₁CQ=∠BCP₁=45°，
∵在△B₁CQ和△BCP₁中，$\left\{\begin{array}{l}{∠{B}_{1}CQ=∠BC{P}_{1}}&{\;}\\{{B}_{1}C=BC}&{\;}\\{∠{B}_{1}=∠B}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△B₁CQ≌△BCP₁（ASA），
∴CQ=CP₁；
（2）解：作P₁D⊥CA于D，如图所示：
∵∠A=30°，
∴P₁D=$\frac{1}{2}$AP₁=1，
∵∠P₁CD=45°，
∴$\frac{{P}_{1}D}{C{P}_{1}}$=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CP₁=$\sqrt{2}$P₁D=$\sqrt{2}$，
又∵CP₁=CQ，
∴CQ=$\sqrt{2}$；
（3）解：∵∠P₁BE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC，
由旋转的性质可得：∠ACP₁=∠BCE，
∴△AP₁C∽△BEC，
∴AP₁：BE=AC：BC=$\sqrt{3}$：1，
设AP₁=x，则BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=2，
∴S_△P1BE=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（2-x）=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
故当x=1时，△P₁BE面积的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值；本题综合性强，有一定难度．