Question

20．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点是D′，BD′=$\sqrt{5}$，求AC的长．

Answer 1

分析 连结CD′，DD′，由等腰直角三角形性质得∠ACB=45°，根据轴对称性质可得CD=CD′、∠D′CD=90°，由BC=2CD′可设CD′=x，则BC=2x，在Rt△BCD′中，由勾股定理即可得求得x的值，从而得出AB=BC=2，继而得出答案．

解答 解：如图，连结CD′，DD′，

∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵D关于AC的对称点是D′，
∴AC垂直平分DD′，
∴CD=CD′，∠D′CD=90°，
又∵D是BC的中点，
∴BC=2CD′，
设CD′=x，则BC=2x，
在Rt△BCD′中，由勾股定理得：CD′²+BC²=BD′²，即x²+（2x）²=5，
解得：x=1或x=-1（舍），
∴AB=BC=2，
∴AC=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查等腰直角三角形的性质、轴对称的性质及勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．