Question

19．观察下列各等式及验证过程．
$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{2}{3}}$，验证$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$=$\sqrt{\frac{1}{2×3}}$=$\sqrt{\frac{2}{{2}^{2}×3}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{2}{3}}$；
$\sqrt{\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{\frac{3}{8}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）}$=$\sqrt{\frac{1}{2×3×4}}$=$\sqrt{\frac{3}{2×{3}^{2}×4}}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{\frac{3}{8}}$；
$\sqrt{\frac{1}{3}（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{\frac{4}{15}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{3}（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）}$=$\sqrt{\frac{1}{3×4×5}}$=$\sqrt{\frac{4}{3×{4}^{2}×5}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{\frac{4}{15}}$．
（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思想，猜想$\sqrt{\frac{1}{4}（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）}$的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明．

Answer 1

分析 （1）观察已知等式，将原式进行适当变形得到结果，验证即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出结果，验证即可．

解答 解：（1）根据题意得：$\sqrt{\frac{1}{4}（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）}$=$\frac{1}{5}$$\sqrt{\frac{5}{24}}$，
等式左边=$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{1}{30}}$=$\sqrt{\frac{1}{120}}$，右边=$\frac{1}{5}$$\sqrt{\frac{25}{120}}$=$\sqrt{\frac{1}{120}}$，
左边=右边，成立；
（2）归纳总结得：$\sqrt{\frac{1}{n+1}（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）}$=$\frac{1}{n+2}$$\sqrt{\frac{n+2}{（n+1）（n+3）}}$（n为正整数），
证明：等式左边=$\sqrt{\frac{1}{（n+1）（n+2）（n+3）}}$，右边=$\frac{1}{n+2}$$\sqrt{\frac{（n+2）^{2}}{（n+1）（n+2）（n+3）}}$=$\sqrt{\frac{1}{（n+1）（n+2）（n+3）}}$，
左边=右边，成立．

点评 此题考查了实数的运算，弄清题中的规律是解本题的关键．