Question

如图，根据图形解答下列问题
（1）如图，以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，证明四边形ADFE是平行四边形．
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？
（3）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？
（4）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？

Answer 1

考点：平行四边形的判定,全等三角形的判定与性质,菱形的判定,矩形的判定,正方形的判定

专题：

分析：（1）可通过证△EFB≌△ACB，得EF=AC=AD；然后证△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE；从而证得四边形ADFE的两组对边分别相等，即可得出ADFE是平行四边形；
（2）当∠BAC=150°，由此可求得∠EAD的度数，则可得ADFE是矩形；
（3）当AE=AD时，ADFE是菱形；
（4）当ADFE是正方形时，∠EAD=90°，且AE=AD，联立（2）（3）的结论即可．

解答：解：（1）连接EF、DF，
∵△ABE、△CBF是等边三角形，
∴BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC=60°；
∴∠EBF=∠ABC=60°-∠ABF；
∴△EFB≌△ACB；
∴EF=AC=AD；
同理由△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE；
由AE=DF，AD=EF即可得出四边形AEFD是平行四边形；

（2）若∠BAC=150°，则平行四边形AEFD是矩形；
由（1）知四边形AEFD是平行四边形，则∠EAD=90°时，可得平行四边形AEFD是矩形，
∴∠BAC=360°-60°-60°-90°=150°，
即△ABC满足∠BAC=150°时，四边形AEFD是矩形；

（3）若AB=AC，则平行四边形AEFD是菱形；
此时AE=AB=AC=AD，即△ABC是等腰三角形；
故△ABC满足AB=AC时，四边形AEFD是菱形；

（4）综合（2）（3）的结论知：当△ABC是顶角∠BAC是150°的等腰三角形时，四边形AEFD是正方形．

点评：考查了平行四边形及特殊平行四边形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解答此题的关键．