Question

求方程

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

+

1

t2

=1的所有正整数解x，y，z，t的值．

Answer 1

考点：非一次不定方程（组）

专题：

分析：由x，y，z，t是正整数可得x＞1，y＞1，z＞1，t＞1，进而得到x≥2，y≥2，z≥2，t≥2，由此可得

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

+

1

t2

≤1，当且仅当x=y=z=t=2时取等号，由此就可得到原方程的解．

解答：解：∵x，y，z，t是正整数，
∴

1

x2

＜1，

1

y2

＜1，

1

z2

＜1，

1

t2

＜1，
∴x＞1，y＞1，z＞1，t＞1，
∴x≥2，y≥2，z≥2，t≥2，
∴

1

x2

≤

1

4

，

1

y2

≤

1

4

，

1

z2

≤

1

4

，

1

t2

≤

1

4

．
∴

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

+

1

t2

≤1，当且仅当

1

x2

=

1

4

，

1

y2

=

1

4

，

1

z2

=

1

4

，

1

t2

=

1

4

时取等号．
即x=y=z=t=2时，

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

+

1

t2

=1．
∴原方程的正整数解为x=y=z=t=2．

点评：本题主要是解非一次不定方程，用到了不等式的性质，而采用放缩法是解决本题的关键．