Question

试求满足

1

x

+

1

y

+

1

xy

=

1

2014

，且x-y最大的正整数组（x，y）（x＞y＞2014）．

Answer 1

考点：非一次不定方程（组）,质因数分解

专题：

分析：可将原方程转化为（x-2014）（y-2014）=2014×2015，由x＞y＞2014可得x-2014＞y-2014＞0，由x-y最大可得（x-2014）-（y-2014）最大，再由x、y都是正整数可得x-2014是2014×2015最大的正约数，y-2014是2014×2015最小的正约数，从而可求出x、y的值，就可解决问题．

解答：解：等式两边同乘以2014xy得：
2014y+2014x+2014=xy，
∴xy-2014x-2014y=2014，
∴（x-2014）（y-2014）=2014²+2014，
∴（x-2014）（y-2014）=2014×2015．
∵x＞y＞2014，
∴x-2014＞y-2014＞0，
∵x-y最大，
∴（x-2014）-（y-2014）=x-y最大．
又∵x、y都是正整数，
∴x-2014=2014×2015，y-2014=1，
∴x=2014×2016=4060224，y=2015．
∴符合要求的正整数组为（4060224，2015）．

点评：本题考查的是解非一次不定方程、质因数分解等知识，而将方程转化为两个因式的乘积等于一个正整数是解决本题的关键．