Question

5．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）²
（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）²（1+x）
=（1+x）³
（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+x（x+1）³，则需应用上述方法3次，结果是（x+1）⁴．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²…+x（x+1）ⁿ（n为正整数）的结果是（x+1）ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 （1）根据已知材料直接回答即可；
（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x），进而得出答案；
（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案．

解答 解：（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．
故答案为：提公因式法，2次；

（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）²+x（x+1）³，
=（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）²]
=（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）]
=（1+x）²（1+x）（1+x）
=（1+x）⁴，
故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+x（x+1）³，则需应用上述方法3次，结果是：（x+1）⁴．

（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²…+x（x+1）ⁿ（n为正整数）的结果是：（x+1）ⁿ⁺¹．
故答案为：（x+1）ⁿ⁺¹．

点评 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．