如图.长方形OABC在平面直角坐标系内.点A在x轴上.点C在y轴上.点B的坐标为.点E是BC的中点.点H在OA上.且AH=$\frac{1}{2}$.过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G.现将长方形折叠.使顶点C落在HG上.并与HG上的点D重合.折痕为EF.且折痕交y轴于点F．试求:(1)∠CEF的度数和点D的坐标,(2)折痕EF所在直线的函数解析式,(3)在y轴上是否存在点M使得S� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图，长方形OABC在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（-2，2$\sqrt{3}$），点E是BC的中点，点H在OA上，且AH=$\frac{1}{2}$，过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G，现将长方形折叠，使顶点C落在HG上，并与HG上的点D重合，折痕为EF，且折痕交y轴于点F．试求：
（1）∠CEF的度数和点D的坐标；
（2）折痕EF所在直线的函数解析式；
（3）在y轴上是否存在点M使得S_△EFD=S_△EFM？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点P在直线EF上，当△PFD为等腰三角形时，试问满足条件的点P有几个，请求出点P的坐标（不必写出解答过程）．

分析（1）由条件可以求出EC=EB=1，根据轴对称的性质可以求出ED=1，利用三角函数值求出∠GED的度数，从而可以求出∠CEF的度数，利用勾股定理求得DG的值，则可以求出D点的坐标；
（2）利用三角函数值求出CF的值，从而求出F的坐标，设出直线EF的解析式，直接利用待定系数法求出其解析式就可以了；
（3）过D作DN⊥EF，根据△EDF≌△CEF即可求得C为满足条件的其中一点，当M在F点下方时，过M作MK⊥EF于点K，求得MK，进而求解；
（4）如图2，根据等腰三角形的性质设出点P的坐标，由两点间的距离公式就可以求出点P的坐标．

解答解：（1）∵E是BC的中点，
∴EC=EB=$\frac{2}{2}$=1．
∵△FCE与△FDE关于直线EF对称，
∴△FCE≌△FDE，
∴ED=EC=1，∠FCE=∠FDE=90°，DF=CF．
∵AH=$\frac{1}{2}$，
∴EG=EB-AH=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∵cos∠GED=$\frac{EG}{ED}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠GED=60°．
∴∠DEC=180°-60°=120°．
∵∠DEF=∠CEF
∴∠CEF=$\frac{120}{2}$=60°．
在Rt△GED中，由勾股定理得：
DG²=ED²-EG²=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
∴DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
DH=AB-DG=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
OH=OA-AH=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$
故D（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）
（2）∵∠CEF═60°
∴CF=ECtan60°=$\sqrt{3}$
∴OF=OC-CF=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$
∴F（0，$\sqrt{3}$），E（-1，2$\sqrt{3}$）
设EF所在直线的函数表达式为y=kx+b，由图象，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=b}\\{2\sqrt{3}=-k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$
故EF所在直线的函数表达式为：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$；
（3）存在．
过D作DN⊥EF，则DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵△EDF≌△CEF，
∴C为满足条件的其中一点，即M（0，2$\sqrt{3}$）．
当M在F点下方时，过M作MK⊥EF于点K．
∵MK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠2=∠3=30°，
∴MF=$\sqrt{3}$，此时M和O重合，即M（0，0），
∴满足条件的M的坐标是（0，0）和M（0，2$\sqrt{3}$）；
（4）∵DF=CF=$\sqrt{3}$点P在直线EF上，
∴当△PFD为等腰三角形时，有以下三种情况：
（a）P₁F=DF=$\sqrt{3}$，
可令P₁（t，-$\sqrt{3}$t+$\sqrt{3}$），则：
P₁F²=3
∴由两点间的距离公式为：
（t-0）²+（-$\sqrt{3}$t+$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$）²=3
∴t²+3t²=3
∴t²=$\frac{3}{4}$，
∴t₁=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，t₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴P₁（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$+$\sqrt{3}$）； P₃（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$+$\sqrt{3}$）
（b） PD=DF=$\sqrt{3}$时，
仍令P（t，-$\sqrt{3}$t+$\sqrt{3}$），注意D（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），则：
PD²=3
∴（t+$\frac{3}{2}$）²+（-$\sqrt{3}$t+$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²=3
∴t²+3t+$\frac{9}{4}$+3t²+3t+$\frac{3}{4}$=3
∴4t²+6t=0
∴t₁=0，t₂=-$\frac{3}{2}$
∵t₁=0对应F点，此时不构成三角形，故舍去．
∴P₃（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）
（c）当 PD=PF
仍令P（t，-$\sqrt{3}$t+$\sqrt{3}$），注意D（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），F（0，$\sqrt{3}$），则：
PD²=PF²
∴（t+$\frac{3}{2}$）²+（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²=（t-0）²+（-$\sqrt{3}$t+$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$）²，
∴t²+3t+$\frac{9}{4}$+3t²+3t+$\frac{3}{4}$=t²+3t²
∴6t+3=0
∴t=-$\frac{1}{2}$
∴P₄（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
故满足条件的点P有4个．分别是P₁（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$+$\sqrt{3}$）； P₂（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$+$\sqrt{3}$），P₃（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），P₄（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．