Question

18．设x、y、z、u是全不为0的实数，且
x=by+cz+du，
y=ax+cz+du，
z=ax+by+du，
u=ax+by+cz．
求$\frac{a}{1+a}$+$\frac{b}{1+b}$+$\frac{c}{1+c}$+$\frac{d}{1+d}$的值．

Answer 1

分析 四式相加得到3（ax+by+cz+du）=x+y+z+u，设3（ax+by+cz+du）=x+y+z+u=3k   ⑤，所以ax+by+cz+du=k   ⑥，①+⑥得到$\frac{a}{1+a}$=1-$\frac{x}{k}$，同理理$\frac{b}{1+b}$=1-$\frac{y}{k}$，$\frac{c}{1+c}$=1-$\frac{z}{k}$，$\frac{d}{1+d}$=1-$\frac{u}{k}$，由此相加计算即可解决问题．

解答 解：由x=by+cz+du    ①
y=ax+cz+du    ②
z=ax+by+du   ③
u=ax+by+cz   ④，
①+②+③+④得到3（ax+by+cz+du）=x+y+z+u，
设3（ax+by+cz+du）=x+y+z+u=3k   ⑤，
所以ax+by+cz+du=k   ⑥
①+⑥得到ax+x=k，所以$\frac{a}{1+a}$=1-$\frac{x}{k}$，
同理$\frac{b}{1+b}$=1-$\frac{y}{k}$，$\frac{c}{1+c}$=1-$\frac{z}{k}$，$\frac{d}{1+d}$=1-$\frac{u}{k}$，
所以$\frac{a}{1+a}$+$\frac{b}{1+b}$+$\frac{c}{1+c}$+$\frac{d}{1+d}$=4-$\frac{x+y+z+u}{k}$=4-3=1．

点评 本题考查分式的化简求值，解题的关键是学会利用参数k解决问题，求出$\frac{a}{1+a}$=1-$\frac{x}{k}$是突破点，题目比较难．