Question

9．如图，已知，点P在∠AOB的内，且点P与点N关于OA对称，PM交OA于点Q，点P与点N关于OB对称，PN交OB于点N，MN交OA于点E，MN交OB于点F．
（1）若MN=10，求△PEF的周长；
（2）若∠MPN=130°，则∠AOB=50°，∠EPF=80°．
（3）若PM=PN，求证：点P在∠AOB的平分线上．

Answer 1

分析 （1）由轴对称的性质可知ME=PE，FN=PF，从而得到三角形的周长等于MN；
（2）由轴对称的性质可知∠OQP=90°，∠ORP=90°；先求得∠M+∠N=50°，从而得到∠MPE+∠FPE=50°；
（3）根据到角两边距离相等的点在角平分线上进行证明即可．

解答 解：如图连接PE、FP．

（1）∵点P与点M关于OA对称，
∴ME=PE．
同理：FN=PF．
∴△PEF的周长=EP+FP+EF=ME+EF+FN=MN=10；
（2）∵点P与点M关于OA对称，
∴∠OQP=90°．
同理：∠ORP=90°．
由四边形的内角和是360°可知；∠AOB=360°-∠OQP-∠ORP-∠QPR=360°-90°-90°-130°=50°；
∵∠MPN=130°，
∴∠M+∠N=50°．
∵ME=EP，FN=FP，
∴∠M=∠MPE，∠N=∠FPE．
∴∠EPF=130°-50°=80°．
故答案为；50°；80°．
（3）∵PN=PM，Q、R为MP，PN的中点，
∴PQ=PE．
又∵PQ⊥QA，PR⊥OB，
∴OP平分∠AOB．

点评 本题主要考查的是轴对称的性质、多边形的内角和、角平分线的判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．