Question

9．如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t＜3）．
（1）用含t的代数式表示PC的长度：PC=6-2t．
（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

Answer 1

分析 （1）直接根据时间和速度表示PC的长；
（2）根据SAS证明△CQP≌△BPD即可；
（3）因为点P、Q的运动速度不相等，所以PB≠CQ，那么PB只能与PC相等，则PB=PC=3，CQ=BD=4，得2t=3，at=4，解出即可．

解答 解：（1）由题意得：PB=2t，
则PC=6-2t；
故答案为：6-2t；
（2，理由是：
当t=a=1时，PB=CQ=2，
∴PC=6-2=4，
∵∠B=∠C，
∴AC=AB=8，
∵D是AB的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴BD=PC=4，
在△CQP和△BPD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{PC=BD}\\{∠C=∠B}\\{CQ=PB}\end{array}\right.$，
∴△CQP≌△BPD（SAS）；
（3）∵点P、Q的运动速度不相等，
∴PB≠CQ，
当△BPD于△CQP全等，且∠B=∠C，
∴BP=PC=3，CQ=BD=4，
∵BP=2t=3，CQ=at=4，
∴t=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$a=4，
a=$\frac{8}{3}$，
∴当a=$\frac{8}{3}$时，能够使△BPD与△CQP全等．

点评 本题是三角形的动点运动问题，考查了全等三角形的判定，主要运用了路程=速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．