Question

6．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，M是AD延长线上一点，且MD=BE，连接CM．
（1）求证：∠BCE=∠DCM；
（2）若点N在边AD上，且∠NCE=45°，连接NE，求证：NE=BE+DN；
（3）在（2）的条件下，若DN=2，MD=3，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到CD=BC，∠ADC=∠B=90°，
根据全等三角形的性质得到∠BCE=∠DCM；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BCE=∠DCM，CE=CM，根据全等三角形的性质得到NE=MN，等量代换即可得到结论；
（3）设正方形的边长为x根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，
∵CD=BC，∠ADC=∠B=90°，
∴∠MDC=∠B=90°，
在△BCE与△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠CDM}\\{BE=DM}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDM，
∴∠BCE=∠DCM；

（2）∵∠NCE=45°，
∴∠BCE+∠DCN=45°，
∵△BCE≌△CDM，
∴∠BCE=∠DCM，CE=CM，
在△CEN与△CMN中，$\left\{\begin{array}{l}{CM=CE}\\{∠ECN=∠MCN}\\{CN=CN}\end{array}\right.$，
∴△CEN≌△CMN，
∴NE=MN，
∵MN=MD+DN=BE+DN，
∴NE=BE+DN；

（3）设正方形的边长为x，
∵NE=BE+DN=MD+DN=3+2=5，AN=AD-DN=x-2，AE=x-3，
∵NE²=AN²+AE²，
∴5²=（x-2）²+（x-3）²，
解得：x=6，或x=-1（不合题意，舍去），
∴正方形的边长是6．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．