Question

10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC，CE∥AB，两线交于点E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若∠B=60°，BC=2，求四边形AECD的面积．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四边形的判定方法得出四边形AECD是平行四边形，再利用直角三角形的性质得出CD=AD，即可得出四边形AECD是菱形；
（2）利用菱形的性质和平行四边形的性质得出AC，ED的长，进而得出菱形面积．

解答 （1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴四边形AECD是菱形；

（2）解：连接DE．
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°
∴AB=4，AC=2$\sqrt{3}$，
∵四边形AECD是菱形，
∴EC=AD=DB，
  又∵EC∥DB
∴四边形ECBD是平行四边形，
∴ED=CB=2，
∴S_菱形AECD=$\frac{AC×ED}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}×2}{2}$=2$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了菱形的判定与性质以及直角三角形的性质，正确利用菱形的性质是解题关键．