Question

5．如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC=∠DAE．
（1）试说明：△ABC≌△ADE；
（2）试说明CA平分∠BCD；
（3）如图（2），过点A作AM⊥CE，垂足为M，试说明：∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的判定定理ASA即可证得；
（2）通过三角形全等得AC=AE，∠BCA=∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD=∠E，从而求得∠BCA=∠E=∠ACD即可证得；
（3）通过三角形全等得AC=AE，∠CAE=90°，即△ACE是等腰直角三角形，根据三线合一可得△ACM和△AEM都是等腰直角三角形，进而得出结论．

解答 解：（1）证明：如图，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DAE}\\{AB=AD}\\{∠ABC=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；

（2）证明：如图，∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，且∠BCA=∠E
∴∠ACD=∠E，
∴∠BCA=∠ACD，即CA平分∠BCD；

（3）由（1）得△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，
∵DA⊥AB，
∴∠BAC+∠CAD=90°，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE+∠CAD=90°，∠CAE=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∵AM⊥CE，
∴△ACM和△AEM都是等腰直角三角形，
∴∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．