Question

3．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下两组勾股数：11、60，61； 13、84，85；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别表示为$\frac{{a}^{2}-1}{2}$和$\frac{{a}^{2}+1}{2}$，请用所学知识说明它们是一组勾股数．

Answer 1

分析 （1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61，进而得出答案；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．

解答 解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴4=$\frac{{3}^{2}-1}{2}$，12=$\frac{{5}^{2}-1}{2}$，24=$\frac{{7}^{2}-1}{2}$…
∴11，60，61；13，84，85；        
故答案为：60，61；84，85；

（2）后两个数表示为$\frac{{a}^{2}-1}{2}$和$\frac{{a}^{2}+1}{2}$，
∵a²+（$\frac{{a}^{2}-1}{2}$）²=a²+$\frac{{a}^{4}-2{a}^{2}+1}{4}$=$\frac{{a}^{4}+2{a}^{2}+1}{4}$=$（\frac{{a}^{2}+1}{2}）^{2}$，
$（\frac{{a}^{2}+1}{2}）^{2}$=$\frac{{a}^{4}+2{a}^{2}+1}{4}$，
∴a²+（$\frac{{a}^{2}-1}{2}$）²=$（\frac{{a}^{2}+1}{2}）^{2}$，
又∵a≥3，且a为奇数，
∴由a，$\frac{{a}^{2}-1}{2}$，$\frac{{a}^{2}+1}{2}$三个数组成的数是勾股数．   
故答案为：$\frac{{a}^{2}-1}{2}$，$\frac{{a}^{2}+1}{2}$．

点评 本题考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．