Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，tanB=$\frac{4}{3}$，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为点D，射线PD交射线BC于点E，设PA=x．
（1）当⊙P与BC相切时，求x的值；
（2）设CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先利用∠ACB=90°，AC=8，tanB=$\frac{4}{3}$得到BC=6，AB=10，然后利用⊙P与BC相切于点M时得到PM⊥BC，然后利用平行线分线段成比例定理得到$\frac{PB}{AB}=\frac{PM}{AC}$，从而求得答案；
（2）过点P作PH⊥AD，垂足为点H，利用已知条件以及勾股定理可分别得到PH，AH，AD，CD的长，再由PH∥BE，可得$\frac{PH}{CE}=\frac{DH}{CD}$，所以$\frac{\frac{3}{5}x}{y}=\frac{\frac{4}{5}x}{8-\frac{8}{5}x}$，进而可求出y关于x的函数关系式；

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，tanB=$\frac{4}{3}$，
∴BC=6，AB=10，
设⊙P与BC相切于点M时，
∴PM⊥BC，
∴PM∥AC，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{PM}{AC}$，
∴$\frac{10-x}{10}=\frac{x}{8}$，
∴x=$\frac{40}{9}$；

（2）过点P作PH⊥AD，垂足为点H，
∵∠ACB=90°，tanB=$\frac{4}{3}$，
∴sinA=$\frac{3}{5}$，
∵PA=x，
∴PH=$\frac{3}{5}x$，
∵∠PHA=90°，
∴PH²+AH²=PA²，
∴HA=$\frac{4}{5}$x，
∵在⊙P中，PH⊥AD，
∴DH=AH=$\frac{4}{5}x$，
∴AD=$\frac{8}{5}$x，
又∵AC=8，
∴CD=8-$\frac{8}{5}$x，
∵∠PHA=∠BCA=90°，
∴PH∥BE，
∴$\frac{PH}{CE}=\frac{DH}{CD}$，
∴$\frac{\frac{3}{5}x}{y}=\frac{\frac{4}{5}x}{8-\frac{8}{5}x}$，
∴y=6-$\frac{6}{5}$x（0≤x≤5）．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握两圆相切的性质和三角形相似的判定与性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算；题目的综合性很强，牵扯到的知识点较多，对学生的综合解题能力要求很高．