Question

6．阅读材料：求1-2+2²-2³+…-2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶的值．
解：设S=1-2+2²-2³+…-2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶，将等式两边同时乘以-2得：
-2S=-2+2²-2³+…+2²⁰¹⁶-2²⁰¹⁷
用上式减去下式得：S-（-2S）=1+2²⁰¹⁷
即S=$\frac{1}{3}$（2²⁰¹⁷+1）
故1-2+2²-2³+…-2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶=$\frac{1}{3}$（2²⁰¹⁷+1）．
请你仿照此法计算（请写出计算过程）：
（Ⅰ）1-2+2²-2³+2⁴-2⁵+2⁶；
（Ⅱ）1-2+2²-2³+…+（-2）ⁿ（其中n为自然数）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意可以求得题目中所求式子的值；
（Ⅱ）根据题目中的信息，对所求式子变形即可解答本题．

解答 解：（Ⅰ）1-2+2²-2³+2⁴-2⁵+2⁶
=$\frac{1}{3}×（{2}^{7}+1）$
=$\frac{1}{3}×（128+1）$
=$\frac{1}{3}×129$
=43；
（Ⅱ）令S=1-2+2²-2³+…+（-2）ⁿ
则-2S=-2+2²-2³+…+（-2）ⁿ+（-2）ⁿ⁺¹，
S-（-2S）=1-（-2）ⁿ⁺¹，
解得，S=$\frac{1}{3}[1-（-2）^{n+1}]$，
即1-2+2²-2³+…+（-2）ⁿ=$\frac{1}{3}[1-（-2）^{n+1}]$．

点评 本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，找出数字的变化特点．