Question

14．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CE⊥BD的延长线于E，∠1=∠2，求证：BD=2CE．

Answer 1

分析 延长BA、CE相交于点F，利用“角边角”证明△BCE和△BFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=EF，从而得到CF=2CE，根据同角的余角相等求出∠F=∠ADB，然后利用“角角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，然后等量代换即可得证．

解答 证明：如图，延长BA、CE相交于点F，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC=∠BEF=90°，
在△BCE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BE=BE}\\{∠BEC=∠BEF=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE=EF，
∴CF=CE+EF=2CE，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠ADB=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠1+∠F=90°，
∴∠F=∠ADB，
在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠ADB}\\{∠BAC=∠CAF=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF，
∴BD=2CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形．