Question

6．如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD、等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB=6，则PC的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先证明△ACE≌△DCB，再证明PC平分∠APB，且∠APB=90°，作△APB的外接圆，延长PC交△APB的外接圆于点Q，可以发现当PQ⊥AB时，PC最大．

解答 解：如图，∵△ACD与△BCE都为等边三角形，
∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS）
∴AE=BD；
过C作CG⊥AE，CH⊥BD，
∵△ACE≌△DCB，
∴S_△ACE=S_△DCB，即$\frac{1}{2}$AE•CG=$\frac{1}{2}$BD•CH，
∵AE=BD，
∴CG=CH，
∴KC平分∠AKB，∵∠CDB=∠EAC，
∴∠ACP=∠DPA=60°，
∴∠APB=120°，∠APQ=∠BPQ=60°，
作△APB的外接圆，延长PC交△APB的外接圆于Q，
∵∠APB=120°是定值，∠APQ=∠BPQ=60°，
∴QA=QB，点Q是定点，
∴当PQ⊥AB时，PC的长最大，
此时PA=PB，AC=BC，PC=AC•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$．
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外接圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．