Question

9．如图，正方形ABCD中，AB=3，O是对角线AC上一点，AO=2$\sqrt{3}$，OE⊥AC交AB的延长线于点E，点F、G分别在CD、CB上，∠FOG=90°，且DF=2，连接AF、EG，M是EG的中点，连接MO并延长交AF于点N，则MN=$\frac{\sqrt{78}}{13}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 如图，作OH⊥CD于H，OK⊥BC于K，延长OM到P使得MP=OM，首先证明△OKG≌△OHF，推出OF=OG，再证明△EOP≌△OAF，推出AF=OP，根据S_△AOF=$\frac{1}{2}$•AF•ON=S_△ADC-S_△ADF-S_△OCF，求出ON，再求出OM即可解决问题．

解答 解：如图，作OH⊥CD于H，OK⊥BC于K，延长OM到P使得MP=OM．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD，∵OH⊥CD，OK⊥CB，∠BAC=45°，
∴OH=OK，
∵∠OKC=∠OHC=∠BCD=90°，
∴四边形OHCK是矩形，
∴∠KOH=∠GOF=90°，
∴∠KOG=∠HOF，∵∠OKG=∠OHF=90°，
∴△OKG≌△OHF，
∴OG=OF，
∵EO⊥OA，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴OA=OE，
∵MG=ME，MO=MP，∠OMG=∠PME，
∴△OMG≌△PME，
∴OG=PE=OF，∠P=∠MOG，
∴PE∥OG，
∴∠OEP+∠EOG=180°，
∵∠AOF+∠EOG=180°，
∴∠OEP=∠AOF，∵OA=OE，OF=PE，
∴△EOP≌△OAF，
∴AF=OP，∴∠OAF=∠POE，
∵∠POE+∠AON=90°，
∴∠OAF+∠AON=90°，
∴∠ANO=90°，
∴ON⊥AF，
∵S_△AOF=$\frac{1}{2}$•AF•ON=S_△ADC-S_△ADF-S_△OCF，
∴$\frac{1}{2}$•$\sqrt{13}$•ON=$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$•1•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{3}$），
∴ON=$\frac{\sqrt{78}}{13}$，
∵OM=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴MN=ON+OM=$\frac{\sqrt{78}}{13}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{78}}{13}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，学会利用面积法求线段，属于中考填空题中的压轴题．