如图1.在平面直角坐标系中.抛物线经过坐标原点O.点A.且以y轴为对称轴．(1)求抛物线的解析式,(2)如图2.过点B作x轴的平行线l.点C在直线l上.点D在y轴左侧的抛物线上.连接DB.以点D为圆心.以DB为半径画圆.⊙D与x轴相交于点M.N.连接CN.当MN=CN时.求锐角∠MNC的度数,的条件下.平移直线CN经过点A.与抛物线相交于另一点E.过点A作x轴的平行线m.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，点A（6，-6$\sqrt{3}$），且以y轴为对称轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点B（0，-$\sqrt{3}$）作x轴的平行线l，点C在直线l上，点D在y轴左侧的抛物线上，连接DB，以点D为圆心，以DB为半径画圆，⊙D与x轴相交于点M，N（点M在点N的左侧），连接CN，当MN=CN时，求锐角∠MNC的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，平移直线CN经过点A，与抛物线相交于另一点E，过点A作x轴的平行线m，过点（-3，0）作y轴的平行线n，直线m与直线n相交于点S，点R在直线n上，点P在EA的延长线上，连接SP，以SP为边向上作等边△SPQ，连接RQ，PR，若∠QRS=60°，线段PR的中点K恰好落在抛物线上，求Q点坐标．

分析（1）设过坐标原点O，点A（6，-6$\sqrt{3}$），且以y轴为对称轴的抛物线为y=ax²，点A代入求出a即可．
（2）如图2中，作CF⊥MN于F，设⊙D与x轴的交点为（x，0），D（m，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²），根据半径相等列出方程，求出M、N坐标，推出MN=2$\sqrt{3}$，在Rt△CFN中，由CN=2CF推出∠FNC=30°即可解决问题．
（3）如图3中，由题意可知平移直线CN经过点A的直线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-8$\sqrt{3}$，记直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-8$\sqrt{3}$与直线x=-3的交点为G，则G（-3，-9$\sqrt{3}$），由△SQR≌△PSH，推出SR=PG，RQ=SG，推出RQ=SG=3$\sqrt{3}$，作DQ⊥n于D，记n与x轴的交点为M，则RM=b，由S（-3，-6$\sqrt{3}$），推出MS=6$\sqrt{3}$，可得P（6+$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，$\frac{1}{2}$b-6$\sqrt{3}$），再求出PR中点k坐标，证明k在直线y=$\sqrt{3}$-$\frac{9\sqrt{3}}{2}$上运动，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}}\\{y=\sqrt{3}x-\frac{9}{2}\sqrt{3}}\end{array}\right.$消去y得到x²+6x-27=0，x=3或-9（舍弃），x=3，代入x=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$b得到b=2$\sqrt{3}$，由此即可解决问题．

解答解：（1）设过坐标原点O，点A（6，-6$\sqrt{3}$），且以y轴为对称轴的抛物线为y=ax²，
则-6$\sqrt{3}$=36a，
∴a=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²．

（2）如图2中，作CF⊥MN于F，设⊙D与x轴的交点为（x，0），D（m，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²）．

则有（x-m）²+（$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²）²=m²+（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²+$\sqrt{3}$）²，
整理得x²-2mx+m²-3=0，
∴x=m+$\sqrt{3}$或m-$\sqrt{3}$，
∴N（m+$\sqrt{3}$，0），M（m-$\sqrt{3}$，0）
∴MN=2$\sqrt{3}$，
在Rt△CFN中，∵∠CFN=90°，CN=MN=2$\sqrt{3}$，CF=$\sqrt{3}$，
∴CN=2CF，
∴∠MNF=30°．

（3）如图3中，

由题意可知平移直线CN经过点A的直线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-8$\sqrt{3}$，
记直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-8$\sqrt{3}$与直线x=-3的交点为G，则G（-3，-9$\sqrt{3}$），
∵m∥x轴，且过点A（6，-6$\sqrt{3}$），
∴S（-3，-6$\sqrt{3}$），
∴SG=3$\sqrt{3}$，AS=9，
∴tan∠2=$\frac{AS}{SG}$=$\sqrt{3}$，
∴∠2=60°，
∴∠1=30°，
∵∠QRS=60°
∴∠QRS=∠2，
∵∠RSQ+∠QSP=∠2+∠SPG，∠QSP=∠2=60°，
∴∠3=∠4，
在△SQR和△PSG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠QRS=∠2}\\{SQ=SP}\end{array}\right.$，
∴△SQR≌△PSH
∴SR=PG，RQ=SG，
∴RQ=SG=3$\sqrt{3}$，作DQ⊥n于D，
∴QRD=60°，
∴DQ=$\sqrt{3}$DR=$\frac{\sqrt{3}}{2}$RQ=$\frac{9}{2}$，
∴RD=$\frac{1}{2}$QR=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵n是过（-3，0）与y轴平行的直线，设R（-3，b），记n与x轴的交点为M，则RM=b，
∵S（-3，-6$\sqrt{3}$），
∴MS=6$\sqrt{3}$，
∴SR=RM+MS=b+6$\sqrt{3}$=PG，作PH⊥n于H，
∵∠2=60°，
∴GH=$\frac{1}{2}$PG=$\frac{1}{2}$（b+6$\sqrt{3}$），
∴MH=MG-HG=9$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（b+6$\sqrt{3}$）=6$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$b，
∴P（6+$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，$\frac{1}{2}$b-6$\sqrt{3}$），
∵K是PR中点，
∴K（$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$b，$\frac{3}{4}$b-3$\sqrt{3}$），
为了方便，记K（x，y），即x=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$b，y=$\frac{3}{4}$b-3$\sqrt{3}$，消去b得y=$\sqrt{3}$x-$\frac{9}{2}$$\sqrt{3}$，
∴中点K在直线y=$\sqrt{3}$-$\frac{9\sqrt{3}}{2}$上运动，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}}\\{y=\sqrt{3}x-\frac{9}{2}\sqrt{3}}\end{array}\right.$消去y得到x²+6x-27=0，
∴x=3或-9（舍弃），
∴x=3，代入x=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$b得到b=2$\sqrt{3}$，
∴RM=2$\sqrt{3}$，DM=RM-RD=2$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$，
∵$\frac{9}{2}$-3=$\frac{3}{2}$，
∴点Q的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$）．