Question

2．如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆相交于点D、C．过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=6，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果；
（2）如图2，连接BD，通过△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得结果．

解答 解：（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CB平分∠ACE；

（2）如图2，连接BD，OB，
∵CE丄AB，
∴∠E=90°，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{CE}$，
∴BC²=CD•CE，
∴CD=$\frac{45}{6}$=$\frac{15}{2}$，
∴OB=$\frac{15}{4}$，
∵OB⊥AE，CE⊥AE，
∴OB∥CE，
∴△ABO∽△AEC，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{OB}{CE}$，
∴$\frac{AB}{AB+3}$=$\frac{\frac{15}{4}}{6}$，
∴AB=5．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．