Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M是BC上一点，且BM=4，点P是边AB上一动点，连接PM，将△BPM沿PM翻折得到△DPM，点D与点B对应，连接AD，则AD的最小值为$\sqrt{17}$-4．

Answer 1

分析 如图，作辅助圆；根据勾股定理依次求出AE、EM、AM、DM的长度，即可解决问题．

解答 解：如图，由题意得：DM=MB，
∴点D在以M为圆心，BM为半径的圆上，作⊙M； 连接AM交⊙M于点D′，此时AD值最小；
过A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC=5，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵BM=4，
∴EM=4-3=1，
∴AM=$\sqrt{A{E}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵D′M=BM=4，
∴如图中AD′=AM-D′M=$\sqrt{17}$-4，
即线段AD长的最小值是$\sqrt{17}$-4；
故答案为：$\sqrt{17}$-4．

点评 该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助圆，从整体上把握题意，准确找出图形中数量关系．