Question

4．如图，△ABC≌△DBC，AD平分∠BAC，AD交BC于点O．
（1）如图1，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，点E为BD边的中点，连接AE交BC于点F，若∠AFO=∠ADC，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图2中所有长度是线段EF长度的偶数倍的线段．

Answer 1

分析 （1）由△ABC≌△DBC，推出AB=BD，AC=CD，只要证明△ADB≌△ADC，推出AB=AC可得AB=BD=CD=AC即可证明．
（2）首先证明△ABD是等边三角形，即可判断．

解答 （1）证明：∵△ABC≌△DBC，
∴AB=BD，AC=CD，
∴∠BAD=∠BDA，∠CAD=∠CDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，∠ADC=∠ADC，
在△ADB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠DAC}\\{AD=AD}\\{∠ADB=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△ADC，
∴AB=AC，
∴AB=BD=CD=AC，
∴四边形ABCD是菱形．

（2）解：∵∠AFO=∠ADC=∠ADB，
又∵∠AFO+∠EFO=180°，
∴∠EFO+∠EDO=180°，
∴∠FED+∠FOD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD⊥BC，
∴∠FEO=∠FOD=90°，
∵BE=ED，
∴AB=AD，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠EBF=$\frac{1}{2}$∠ABD=30°，
在Rt△BEF中，BF=2EF，
∵∠FBA=∠FAB=30°，
∴FA=FB，
在Rt△AFC中，CF=2AF=4EF，
综上所述，长度是线段EF长度的偶数倍的线段有BF，AF，CF．

点评 本题考查了菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题中考常考题型．