Question

12．已知点P（x₀，y₀）和直线kx-y+b=0（由y=kx+b变形而得），则点P到直线kx-y+b=0的距离d可用公式d=$\frac{{|{k{x_0}-{y_0}+b}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$计算．例如：求点P（-2，1）到直线y=x+1的距离．解：由直线y=x+1可得x-y+1=0，k=1，b=1．则点P到直线y=x+1的距离为d=$\frac{{|{k{x_0}-{y_0}+b}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$=$\frac{{|{1×（-2）-1+1}|}}{{\sqrt{1+{1^2}}}}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$．根据以上材料，解决下列问题：
（1）请求出点P（1，1）到直线y=3x-12的距离；
（2）已知互相平行的直线y=x-2与y=x+b之间的距离是3$\sqrt{2}$，试求b的值．

Answer 1

分析 （1）直接根据新定义求解；
（2）直线y=x-2与y=x+b之间的距离为3$\sqrt{2}$，可转化为直线y=x-2上一点到直线y=x+b的距离为3$\sqrt{2}$，于是可取（0，-2），则根据新定义，利用点（0，-2）到直线x-y+b=0的距离是3$\sqrt{2}$得到$\frac{|1×0-（-2）+b|}{\sqrt{1+{1}^{2}}}$=3$\sqrt{2}$，然后解绝对值方程即可．

解答 解：（1）由直线y=3x-12得3x-y-12=0，
则k=3，b=-12，
所以点P（1，1）到直线y=3x-12的距离=$\frac{|3×1-1-12|}{\sqrt{1{+3}^{2}}}$=$\sqrt{10}$；
（2）当x=0时，y=x-2=-2，
则点（0，-2）到直线x-y+b=0的距离是3$\sqrt{2}$，
所以$\frac{|1×0-（-2）+b|}{\sqrt{1+{1}^{2}}}$=3$\sqrt{2}$，
解得b=4或b=-8．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．对于（2），要把两平行线的距离问题转化为点到直线的距离问题．