Question

4．如图所示，等腰直角△ABC中，M、N为斜边AB上两点，且∠MCN=45°，求证：以AM、MN、BN三边为边长构成的三角形是直角三角形．

Answer 1

分析 把△ACN绕C点逆时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的AM、MN、NB集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．

解答 证明：设：AM=m，MN=n，NB=k，
如图：作△ACM≌△BCD，
∴∠ACM=∠BCD，CM=CD，∠MCN=∠NCD=45°，
又∵CN=CN，
∴△MNC≌△DNC，MN=ND，AM=BD=m，
又∵∠DBN=45°+45°=90°，
∴n²=m²+k²．
∴以AM、MN、BN三边为边长构成的三角形是直角三角形．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；（2）图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．