Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，点E为BC边上的一个动点（不与点B、C重合），过点E作射线EF交AC于点F，使∠AEF=∠B．

（1）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；
（2）请你探索：当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠BAE=∠AEC=∠AEF+∠FEC，再由条件∠AEF=∠B可得∠BAE=∠FEC；
（2）分别根据当∠AFE=90°时，以及当∠EAF=90°时利用外角的性质得出即可．

解答 解：（1）∠BAE=∠FEC；
理由如下：
∵∠B+∠BAE=∠AEC，∠AEF=∠B，
∴∠BAE=∠FEC；

（2）如图1，当∠AFE=90°时，
∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，
∠B=∠AEF=∠C，
∴∠BAE=∠CEF，
∵∠C+∠CEF=90°，
∴∠BAE+∠AEF=90°，
即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；
如图2，当∠EAF=90°时，
∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠1，
∠B=∠AEF=∠C，
∴∠BAE=∠1，
∵∠C+∠1+∠AEF=90°，
∴2∠AEF+∠1=90°，
即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．

点评 此题考查了等腰三角形的性质以及外角的性质，此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用．