Question

7．已知：如图，∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，
（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；
（2）线段BF、线段BC、线段AB之间有何数量关系？写出你的猜想及证明思路．

Answer 1

分析 （1）过P点作PE⊥BA于点E，由∠1=∠2利用角平分线的性质即可得出PE=PF，结合PA=PC即可利用全等三角形的判定定理HL证出Rt△PAE≌Rt△PCF，由此可得出∠PCF=∠PAE，再根据邻补角互补可得出∠PAE+∠BAP=180°，将∠PAE替换成∠PCB即可证出结论；
（2）由Rt△PAE≌Rt△PCF可得出AE=CF，结合PB=PB即可证出Rt△PBE≌Rt△PBF，进而得出BE=BF，再根据边与边之间的关系即可得出2BF=AB+AC．

解答 （1）证明：过P点作PE⊥BA于点E，如图所示．
∵∠1=∠2，PF⊥BC，
∴PE=PF．
在Rt△PAE与Rt△PCF中，$\left\{\begin{array}{l}{PA=PC}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△PAE≌Rt△PCF（HL），
∴∠PCF=∠PAE．
∵∠PAE+∠BAP=180°，
∴∠PCB+∠BAP=180°．
（2）解：2BF=AB+BC．
证明：∵Rt△PAE≌Rt△PCF，
∴AE=CF．
在Rt△PBE和Rt△PBF中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PB}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△PBE≌Rt△PBF（HL），
∴BE=BF．
∴2BF=BE+BF=AB+AE+BF=AB+FC+BF=AB+AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定于性质、角平分线的性质以及邻补角，解题的关键是：（1）利用HL证明Rt△PAE≌Rt△PCF；（2）利用HL证明Rt△PBE≌Rt△PBF．