Question

19．已知a，b，c满足等式：3$\sqrt{a-b}$+4$\sqrt{c}$=16（a≥b，c≥0），且x=4$\sqrt{a-b}$-3$\sqrt{c}$，求x的取值范围．

Answer 1

分析 设$\sqrt{a-b}$=m，$\sqrt{c}$=n，则3$\sqrt{a-b}$+4$\sqrt{c}$=16，则3m+4n=16，x=4$\sqrt{a-b}$-3$\sqrt{c}$即4m-3n=x，据此即可得到一个关于m和n的方程组，然后根据m和n是非负数求得x的范围．

解答 解：设$\sqrt{a-b}$=m，$\sqrt{c}$=n，
则3$\sqrt{a-b}$+4$\sqrt{c}$=16，则3m+4n=16，
x=4$\sqrt{a-b}$-3$\sqrt{c}$即4m-3n=x，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{3m+4n=16}\\{4m-3n=x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4x-48}{7}}\\{n=\frac{64-3x}{25}}\end{array}\right.$，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4x-48}{7}≥0}\\{\frac{64-3x}{25}≥0}\end{array}\right.$，
解得：12≤x≤$\frac{64}{3}$．

点评 本题考查了二次根式的化简，以及方程组和不等式组的解法，正确转化为关于m和n的方程组是关键．