Question

10．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD=2，则MN=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 设正方形的边长为2a，DH=x，表示出CH，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根据相似三角形的判定性质，可得NE的长，根据线段的和差，可得答案．

解答 解：设DH=x，CH=2-x，
由翻折的性质，DE=1，
EH=CH=2-x，
在Rt△DEH中，DE²+DH²=EH²，
即1²+x²=（2-x）²，
解得x=$\frac{3}{4}$，EH=2-x=$\frac{5}{4}$．
∵∠MEH=∠C=90°，
∴∠AEN+∠DEH=90°，
∵∠ANE+∠AEN=90°，
∴∠ANE=∠DEH，
又∠A=∠D，
∴△ANE∽△DEH，
$\frac{AE}{DH}$=$\frac{EN}{EH}$，即$\frac{EN}{\frac{5}{4}}$=$\frac{1}{\frac{3}{4}}$，
解得EN=$\frac{5}{3}$，
MN=ME-NE=2-$\frac{5}{3}$=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，设出DH的长，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，也是本题的难点．