Question

2．已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（1）如图，已知折痕与边BC交于点E，连结AP、EP、EA．求证：△ECP∽△PDA；
（2）若△ECP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（3）在（2）的条件下以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，问在坐标平面内是否存在点M，使得以点A、B、E、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点M的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质和相似三角形的判定定理证明结论；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到$\frac{EC}{PD}$=$\frac{EP}{PA}$=$\frac{CP}{DA}$=$\frac{1}{2}$，设EP=x，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案；
（3）根据题意和分情况讨论思想画出图形，根据平行四边形的判定定理求出点M的坐标．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠的性质可知，AP=AB，PE=BE，∠PAE=∠BAE，∠APE=∠B，
∴∠APE=90°，
∴∠APD=∠PEC，
∴△ECP∽△PDA；
（2）△ECP与△PDA的面积比为1：4，
∴$\frac{EC}{PD}$=$\frac{EP}{PA}$=$\frac{CP}{DA}$=$\frac{1}{2}$，
∴PD=2EC，PA=2EP，DA=2CP，
∵AD=8，
∴CP=4，
设EP=x，则EB=x，CE=8-x，
由勾股定理得，x²=（8-x）²+4²，
解得，x=5，
∴AB=AP=2EP=10，
∴边AB的长为10；
（3）如图，以OB、BE为邻边时，AM′=BE=5，
∴M′的坐标为（0，5），
以BE为边、AB为对角线时，
AM′′=BE=5，
∴M′′的坐标为（0，-5），
以AB为边、BE为对角线时，
M′M′′′=2AB=20，
∴M′′′的坐标（20，5）．

点评 本题考查的是矩形的性质、相似三角形的性质和折叠的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、翻折变换的性质是对应角相等、对应边相等是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．