Question

4．如图，Rt△AOB的直角边OA、OB分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，OA=1，∠OBA=30°，将△AOB绕点A顺时针旋转，使AB的对应边AD恰好落在x轴上，若函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点O的对应点C，则k的值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 作CE⊥x轴于E点，如图，先利用旋转的性质得AC=OA=1，∠CAD=∠OAB=60°，在Rt△ACE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，CE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．

解答 解：作CE⊥x轴于E点，如图，
∵∠OBA=30°，
∴∠OAB=60°，
∵△AOB绕点A顺时针旋转，使AB的对应边AD恰好落在x轴上，
∴AC=OA=1，∠CAD=∠OAB=60°，
在Rt△ACE中，AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，CE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=OA+AE=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
把C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$得k=$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故答案为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．解决本题的关键是确定C点坐标．