Question

5．如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA=∠CGF；
（2）当AH=DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；
（3）设AH=2，DG=x，△FCG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（4）求y的最小值．

Answer 1

分析 （1）连接GE，根据正方形的性质和平行线的性质得到∠AEG=∠CGE，根据菱形的性质和平行线的性质得到∠HEG=∠FGE，解答即可；
（2）证明Rt△HAE≌Rt△GDH，得到∠AHE=∠DGH，证明∠GHE=90°，根据正方形的判定定理证明；
（3）作FM⊥DC，证明Rt△AHE≌Rt△GFM，得到MF=AH=2，根据三角形的面积公式得到解析式；
（4）根据一次函数的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小解答即可．

解答 （1）证明：如图1，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠CGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠HEA=∠CGF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△HAE和Rt△GDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=DG}\\{HE=HG}\end{array}\right.$，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH，
∴∠AHE=∠DGH，又∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形；
（3）解：作FM⊥DC，交DC的延长线于M，
在Rt△AHE和Rt△GFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠M}\\{∠AEH=∠FGM}\\{HE=FG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AHE≌Rt△GFM，
∴MF=AH=2，
∵DG=x，
∴CG=6-x，
∴y=$\frac{1}{2}$×CG×FM=$\frac{1}{2}$×2×（6-x）=6-x（0≤x≤2$\sqrt{6}$）；
（4）∵k=-1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x=2$\sqrt{6}$时，y的最小值是6-2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数解析式的求法和一次函数的性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．