Question

12．已知抛物线y=-x²+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx+b（k≠0）与抛物线交于点A（$\frac{1}{2}$，m）和B（4，n），求直线的解析式．
（3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交抛物线于H、G，
①求t的取值范围；
②是否存在适当的t值，使得四边形EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意知，抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），用交点式求解析式即可；
（2）先求出A、B两点坐标，然后用待定系数法求直线解析式；
（3）①根据题意列不等式组，求解集即可；
②首先表示出E，F，G，H各点的坐标，进而根据平行四边形的性质求出t的值即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3；
（2）∵直线y=kx+b（k≠0）与抛物线交于点A（$\frac{1}{2}$，m）和B（4，n），
∴m=-（$\frac{1}{2}$）²+4×$\frac{1}{2}$-3=-$\frac{5}{4}$，n=-4²+4×4-3=-3，
∴A（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$）B（4，-3），
把A、B两点坐标代入直线y=kx+b（k≠0）得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}k+b=-\frac{5}{4}}\\{4k+b=-3}\end{array}\right.$
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=-1，
∴y=-$\frac{1}{2}$x-1；
（3）①∵平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交抛物线于H、G，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t≥\frac{1}{2}}\\{t+2≤4}\end{array}\right.$
解得：$\frac{1}{2}$≤t≤2；
②存在；
∵HE∥FG，
∴当HE=FG时，四边形EFGH是平行四边形，
∵HE=-t²+4t-3+$\frac{1}{2}$t+1=-t²+$\frac{9}{2}$t-2，FG=-（t+2）²+4（t+2）-3+$\frac{1}{2}$（t+2）+1=-t²+$\frac{1}{2}$t+3；
∴-t²+$\frac{9}{2}$t-2=-t²+$\frac{1}{2}$t+3；
解得：t=$\frac{5}{4}$，
∵t=$\frac{5}{4}$在$\frac{1}{2}$≤t≤2的解集内，
∴当t=$\frac{5}{4}$时，四边形EFGH是平行四边形．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及平行四边形的性质，根据点的坐标性质得出E，F，G，H点的坐标进而利用平行四边形对边相等得出是解题关键．