Question

4．已知二次函数y=x²+mx+n．
（1）设m=-2，当-3≤x≤0时，求二次函数的最小值（用字母表示）；
（2）若-3≤x≤0时二次函数的最小值为-4，求m、n应满足的关系？

Answer 1

分析 （1）当m=-2时，y=x²+mx+n=x²-2x+n，根据对称轴是x=1，可得当-3≤x≤0时，y单调递减，据此求出二次函数的最小值即可．
（2）二次函数y=x²+mx+n的对称轴是x=-$\frac{m}{2}$，分三种情况讨论：①当-$\frac{m}{2}$≤-3时；②当-3＜-$\frac{m}{2}$＜0时；③当-$\frac{m}{2}$≥0时；根据二次函数的最小值为-4，判断出m、n应满足的关系即可．

解答 解：（1）当m=-2时，
y=x²+mx+n=x²-2x+n，
对称轴是：x=-$\frac{-2}{2×1}=1$，
∵二次函数开口向上，
∴当-3≤x≤0时，y单调递减，
∴当x=0时，
y_min=0²-2×0+n=n，
即当-3≤x≤0时，二次函数的最小值是n．

（2）二次函数y=x²+mx+n的对称轴是x=-$\frac{m}{2}$，
①当-$\frac{m}{2}$≤-3时，即m≥6时，
-3≤x≤0时，y单调递增，
∴当x=-3时，
y_min=（-3）²+m×（-3）+n=-3m+n+9=-4，
∴n=3m-13．

②当-3＜-$\frac{m}{2}$＜0时，即0＜m＜6时，
当x=-$\frac{m}{2}$时，
y_min=$\frac{4n{-m}^{2}}{4}$=-4，
∴n=$\frac{{m}^{2}}{4}-4$．

③当-$\frac{m}{2}$≥0时，即m≤0时，
-3≤x≤0时，y单调递减，
∴当x=0时，
y_min=0²+m×0+n=n=-4，
∴n=-4．

点评 此题主要考查了二次函数的最值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．