Question

8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜$\frac{10}{3}$），连接MN．
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出BM，CN，易得BN，BA，分类讨论当△BMN∽△BAC时，利用相似三角形的性质得$\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}$，解得t；当△BMN∽△BCA时，$\frac{BM}{BC}=\frac{BN}{BA}$，解得t，综上所述，△BMN与△ABC相似，得t的值；
（2）过点M作MD⊥CB于点D，利用锐角三角函数易得DM，BD，由BM=3tcm，CN=2tcm，易得CD，利用三角形相似的判定定理得△CAN∽△DCM，由三角形相似的性质得$\frac{AC}{CN}=\frac{CD}{DM}$，解得t．

解答 解：（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，
∴BN=（8-2t）cm，BA=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（cm），
当△BMN∽△BAC时，$\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}$，
∴$\frac{3t}{10}=\frac{8-2t}{8}$，解得：t=$\frac{20}{11}$；
当△BMN∽△BCA时，$\frac{BM}{BC}=\frac{BN}{BA}$，
∴$\frac{3t}{8}=\frac{8-2t}{10}$，解得：t=$\frac{32}{23}$，
∴△BMN与△ABC相似时，t的值为$\frac{20}{11}$或$\frac{32}{23}$；
（2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：
DM=BMsinB=3t$•\frac{6}{10}$=$\frac{9}{5}t$（cm），BD=BMcosB=3t$•\frac{8}{10}$=$\frac{12}{5}$t（cm），
BM=3tcm，CN=2tcm，
∴CD=（8-$\frac{12}{5}t$）cm，
∵AN⊥CM，∠ACB=90°，
∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，
∴∠CAN=∠MCD，
∵MD⊥CB，
∴∠MDC=∠ACB=90°，
∴△CAN∽△DCM，
∴$\frac{AC}{CN}=\frac{CD}{DM}$，
∴$\frac{6}{2t}$=$\frac{8-\frac{12}{5}t}{\frac{9}{5}t}$，解得t=$\frac{13}{12}$或t=0（舍弃）．
∴t=$\frac{13}{12}$．

点评 本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．