Question

19．如图，抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过点A（2，0），点B（3，3），BC⊥x轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为（-4，0），点F与原点重合
（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；
（2）△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t秒，当点D落在BC边上时停止运动，设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式；
（3）点P是抛物线对称轴上一点，当△ABP是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法解出解析式和对称轴即可；
（2）从三种情况分析①当0≤t≤3时，△DEF与△OBC重叠部分为等腰直角三角形；②当3＜t≤4时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形；③当4＜t≤5时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形得出S关于t的函数关系式即可；
（3）直接写出当△ABP是直角三角形时符合条件的点P坐标．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}0=4a+2b\\ 3=9a+3b\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-2，
∴抛物线解析式是y=x²-2x，
对称轴是直线x=1；
（2）有3中情况：
①当0≤t≤3时，△DEF与△OBC重叠部分为等腰直角三角形，如图1：

S=$\frac{1}{4}{t}^{2}$；
②当3＜t≤4时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图2：

S=$-\frac{1}{4}{t}^{2}+3t-\frac{9}{2}$；
③当4＜t≤5时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图3：

S=$-\frac{1}{2}{t}^{2}+3t-\frac{1}{2}$；
（3）当△ABP是直角三角形时，可得符合条件的点P坐标为（1，1）或（1，2）或（1，$\frac{1}{3}$）或（1，$\frac{11}{3}$）．

点评 此题考查了难度较大的函数与几何的综合题，关键是根据0≤t≤3，3＜t≤4，4＜t≤5三种情况进行分析．