如图.一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点P.点P在第一象限.PA⊥x轴于点A.PB⊥y轴于点B.一次函数的图象分别交x轴.y轴于点C.D.且S△PBD=4.$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{2}$．(1)求一次函数与反比例函数的解析式,(2)已知点M在两条坐标轴上.直接写出能使△PDM成为等腰三角形的点M� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点P，点P在第一象限，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S_△PBD=4，$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）已知点M在两条坐标轴上，直接写出能使△PDM成为等腰三角形的点M的坐标．

分析（1）由BP∥OA得Rt△PBD∽Rt△DOC，又$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{OC}{PB}$=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，故BD=4，AP=4+2=6，由S_△PBD=4可得BP=2，把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=$\frac{m}{x}$可得一次函数解析式为：y=2x+2反比例函数解析式为：y=$\frac{12}{x}$；
（2）在R_t△PBD中，求得PD=$\sqrt{B{D}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，①当点M在x轴上时，设M（m，0），当PD=DM=2$\sqrt{5}$和PM=DM时分别求得结果，②当点M在y轴上时，设M（0，m），当PD=PM=2$\sqrt{5}$，当PD=DM=2$\sqrt{5}$分别求得结果．

解答解：（1）∵BP∥OA，
∴∠CDO=∠PDB，∠COD=∠CAP，
∴Rt△PBD∽Rt△DOC，
∵$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，OD=2，
∴BD=4，
∴AP=6，
∴由S_△PBD=$\frac{1}{2}$BP•BD=4，可得BP=2，
∴P（2，6）把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=$\frac{m}{x}$可得
一次函数解析式为：y=2x+2，
反比例函数解析式为：y=$\frac{12}{x}$；

（2）在R_t△PBD中，PD=$\sqrt{B{D}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
由△PDM为等腰三角形，
①当点M在x轴上时，设M（m，0），
当PD=DM=2$\sqrt{5}$，
∴m²+2²=（2$\sqrt{5}$）²，解得：m=±4，
∴M（-4，0），（4，0），
当PM=DM，
∴PA²+MA²=OD²+OM²
即6²+（m-2）²=2²+m²，解得：m=9，
∴M（9，0），
②当点M在y轴上时，设M（0，m），
当PD=PM=2$\sqrt{5}$，∴BM=BD=4，
∴M（0，10），
当PD=DM=2$\sqrt{5}$，∴OM=2+2$\sqrt{5}$，或OM=2-2$\sqrt{5}$，
∴M（0，2+2$\sqrt{5}$），（0，2-2$\sqrt{5}$），
综上所述：能使△PDM成为等腰三角形的点M的坐标为：（-4，0），（4，0），（9，0），（0，10），（0，2+2$\sqrt{5}$），（0，2-2$\sqrt{5}$）．