题目内容
7．
如图，点A，B，C在一个已知圆上，通过一个基本的尺规作图作出的射线AP交已知圆于点D，直线OF垂直平分AC，交AD于点O，交AC于点E，交已知圆于点F．（1）若∠BAC=50°，则∠BAD的度数为25°，∠AOF的度数为65°；
（2）若点O恰为线段AD的中点．
①求证：线段AD是已知圆的直径；
②若∠BAC=80°，AD=6，求弧DC的长；
③连接BD，CD，若△AOE的面积为S，则四边形ACDB的面积为8S．（用含S的代数式表示）
分析 （1）利用角平分线的性质以及两角互余的关系得出答案；
（2）①利用圆周角定理结合三角形中位线定理得出即可；
②首先得出∠COD=2∠CAD=80°，再利用弧长公式求出即可；
③利用相似三角形的性质得出四边形ACDB的面积．
解答 
（1）解：若∠BAC=50°，则∠BAD的度数为25°，
∠AOF的度数为：90°-25°=65°，
故答案为：25°； 65°；
（2）①证明：连接CD，
∵直线OF垂直平分AC，交AC于点E，
∴∠AEO=90°，AE=CE，
∵AO=OD，AE=CE，
∴OE∥CD，
∴∠AEO=∠ACD=90°，
∴线段AD是已知圆的直径；
②解：连接OC，
由作图可知，AP是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=40°，
∵弧CD所对的圆周角为∠CAD、圆心角为∠COD，
∴∠COD=2∠CAD=80°，
∴弧CD的长=$\frac{80π•3}{180}=\frac{4π}{3}$，
③∵由题意可得：OE是△ACD的中位线，∴$\frac{{S}_{△AEO}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{1}{4}$，
可得S△ABD=S△ACD，
∴若△AOE的面积为S，则四边形ACDB的面积为：8S．
故答案为：8S．
点评 此题主要考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质和垂径定理等知识，熟练应用圆周角定理得出线段AD是已知圆的直径是解题关键．
练习册系列答案
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