Question

4．一棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC=15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC=60°，AD=3.6米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{6}$≈2.4）

Answer 1

分析 过点A作AE⊥CD于点E，由∠BAC=15°可求出∠DAC的度数，在Rt△AED中由∠ADE=60°，AD=4可求出DE及AE的长度，在Rt△AEC中由直角三角形的性质可得出AE=CE，故可得出CE的长度，再利用锐角三角函数的定义可得出AC的长，进而可得出结论．

解答 解：过点A作AE⊥CD于点E，
∵∠BAC=15°，
∴∠DAC=90°-15°=75°，
∵∠ADC=60°，
∴在Rt△AED中，
∵cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴DE=1.8米，
∵sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AE=$\frac{9}{5}\sqrt{3}$
∴∠EAD=90°-∠ADE=90°-60°=30°，
在Rt△AEC中，
∵∠CAE=∠CAD-∠DAE=75°-30°=45°，
∴∠C=90°-∠CAE=90°-45°=45°，
∴AE=CE=$\frac{9}{5}\sqrt{3}$，
∴sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{2}$AE=$\frac{9}{5}\sqrt{6}$，
∴AB=AC+CD=$\frac{9}{5}\sqrt{6}$+$\frac{9}{5}\sqrt{3}$+$\frac{9}{5}$≈9.18米．
答：这棵大树AB原来的高度是9.18米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．