Question

已知：如图，AD切⊙O于点D，ACB为⊙O的割线，AP=AD，BP、CP分别交⊙O于M、N．求证：
（1）△PCA∽△ABP；
（2）MN∥AP．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据切割线定理得到AD²=AC•AB，而AP=AD，则AP²=AC•AB，利用比例性质得

AP

AC

=

AB

AP

，加上∠CAP=∠PAB，于是根据相似三角形的判定即可得到△PCA∽△ABP；
（2）根据相似三角形的性质，由△PCA∽△ABP得到∠APC=∠B，再根据圆内接四边形的性质得∠MNP=∠B，所以∠MNP=∠APC，于是根据平行线的判定定理即可得到结论．

解答：证明：（1）∵AD切⊙O于点D，ACB为⊙O的割线，
∴AD²=AC•AB，
∵AP=AD，
∴AP²=AC•AB，
∴

AP

AC

=

AB

AP

，
而∠CAP=∠PAB，
∴△PCA∽△ABP；
（2）∵△PCA∽△ABP，
∴∠APC=∠B，
∵∠MNP=∠B，
∴∠MNP=∠APC，
∴MN∥AP．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切割线定理和相似三角形的判定与性质．