Question

2．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA⊥AB，cos∠ABC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，BC=5，AD=2．求：
（1）AC的长；
（2）∠ADB的正切值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数求出AB，再由勾股定理求出AC即可；
（2）作AH⊥BC于H，交BD于E，得出∠HAC=∠ABC，由三角函数求出AH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$AC=2，由勾股定理求出CH，得出BH，由平行线得证出△ADE∽△HBE，得出比例式求出AE，即可求出∠ADB的正切值．

解答 解：（1）∵CA⊥AB，cos∠ABC=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，BC=5，
∴AB=$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
（2）作AH⊥BC于H，交BD于E，如图所示：
∵CA⊥AB，
∴∠HAC=∠ABC，
∴cos∠HAC=$\frac{AH}{AC}$=cos∠ABC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$AC=2，
∴CH=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=，$\sqrt{20-4}$=4，
∴BH=BC-CH=5-4=1，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△HBE，
∴$\frac{AE}{EH}=\frac{AD}{BH}$=2，
∴AE=$\frac{2}{3}$AH=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠ADB=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了梯形的性质、解直角三角形、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．