Question

9．如图，已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E．∠ABC的平分线BF，交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H．当∠EDC=30°，CF=$\frac{4}{3}$，则DH=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 连接AF，证明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再证明DH=AH=$\frac{1}{2}$=5．

解答 解：连接AF．
∵DE=DC，∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠DCE=75°，
∴∠ACF=75°-60°=15°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
在△ABF和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠CBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠ACF=15°，
∴∠AFH=15°+15°=30°，
∵AH⊥CD，
∴AH=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{2}{3}$，
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，
∴∠BDE=75°-60°=15°，
∴∠ADH=15°+30°=45°，
∴∠DAH=∠ADH=45°，
∴DH=AH=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法．