Question

4．阅读下面的文字，完成解答过程．
（1）$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，则$\frac{1}{2013×2014}$=$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$，并且用含有n的式子表示你发现的规律$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（2）根据上述方法计算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$．
（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：$\frac{1}{n（n+k）}$=$\frac{1}{k}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+k}$）（其中n，k均为正整数），并计算$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{4×7}$+$\frac{1}{7×10}$+…+$\frac{1}{2014×2017}$．

Answer 1

分析 （1）根据观察，可发现规律：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）根据拆项法，可出现互为相反数的项，根据有理数的加法，可得答案；
（3）根据计算，可发现$\frac{1}{n（n+k）}$=$\frac{1}{k}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+k}$），根据规律，可得互为相反数的项，根据有理数的加法，可得答案．

解答 解：（1）$\frac{1}{2013×2014}$=$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$，并且用含有n的式子表示你发现的规律 $\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（2）$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2014}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2013}{2014}$=$\frac{2013}{4028}$；
（3）$\frac{1}{n（n+k）}$=$\frac{1}{k}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+k}$）（其中n，k均为正整数），
$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{4×7}$+$\frac{1}{7×10}$+…+$\frac{1}{2014×2017}$=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2017}$）
=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{2017}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2016}{2017}$=$\frac{1008}{2017}$，
故答案为：$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$，$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，$\frac{1}{k}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+k}$）．

点评 本题考查了分式的加减，利用拆项法得出互为相反数的项是解题关键．