Question

14．已知关于x的一元二次方程方程（a-2）x²+2ax+a-3=0．
（1）若方程有两个实数根，求a的取值范围．
（2）若x₁，x₂是方程的两个实数根，且${{x}_{1}}^{2}$x₂+x₁${{x}_{2}}^{2}$=-1，试求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式和已知得出a-2≠0且△≥0，求出即可；
（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=-$\frac{2a}{a-2}$，x₁•x₂=$\frac{a-3}{a-2}$，变形后代入，即可得出关于a的方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程方程（a-2）x²+2ax+a-3=0有两个实数根，
∴a-2≠0且△≥0，
即a≠2，
△=（2a）²-4（a-2）（a-3）=20a-24≥0，
a≥$\frac{6}{5}$，
即a的取值范围是a≥$\frac{6}{5}$且a≠2；

（2）根据根与系数的关系得：x₁+x₂=-$\frac{2a}{a-2}$，x₁•x₂=$\frac{a-3}{a-2}$，
∵${{x}_{1}}^{2}$x₂+x₁${{x}_{2}}^{2}$=-1，
∴x₁x₂（x₁+x₂）=-1，
∴$\frac{a-3}{a-2}$•（-$\frac{2a}{a-2}$）=-1，
解得：a=1$±\sqrt{5}$，
由（1）知：a≥$\frac{6}{5}$且a≠2，
∴a=1-$\sqrt{5}$舍去，
所以a=1+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键．