Question

19．E、F在菱形ABCD的边AB和BC上，DE=DF=AD，且∠EDF=30°，则∠BEF=35°．

Answer 1

分析 由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，AD∥BC，证出AD=DE=DF=CD，与等腰三角形的性质得出∠DEF=∠EFD=75°，∠A=∠DEA，∠C=∠DFC，得出∠A=∠DEA=∠C=∠DFC，由AAS证明△DAE≌△DCF，得出AE=CF，证出BE=BF，得出∠BEF=∠BFE，设∠BEF=∠BFE=x，∴∠EBF=180°-2x，∠A=∠DEA=180°-∠DEF-∠BEF=105°-x，由平行线的性质得出105°-x+180°-2x=180°，解方程即可．

解答 解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，AD∥BC，
∵DE=DF=AD，∠EDF=30°，
∴AD=DE=DF=CD，∠DEF=∠EFD=75°，
∴∠A=∠DEA，∠C=∠DFC，
∴∠A=∠DEA=∠C=∠DFC，
在△DAE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}&{\;}\\{∠DEA=∠DFC}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCF（AAS），
∴AE=CF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE，
设∠BEF=∠BFE=x，
∴∠EBF=180°-2x，∠A=∠DEA=180°-∠DEF-∠BEF=105°-x，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠EBF=180°，
∴105°-x+180°-2x=180°，
解得：x=35°；
故答案为：35°．

点评 本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解决问题的关键．