Question

4．如图，一次函数y=mx+5的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M，
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAM的面积S；
（3）在y轴上求一点P，使PA+PB最小．
（4）在y轴上求一点Q，使Q，A，B为顶点的三角形是等腰三角形．
（5）在y轴上求一点E，使E，A，B为顶点的三角形是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）根据点A的坐标，可得OM=4，AM=1，根据S_△OAM=$\frac{1}{2}$×AM×OM计算即可．
（3）如图1中，作点A关于y轴的对称点A′（-1，4），连接BA′交y轴于点P，此时PA+PB最小．求出直线BA′的解析式即可解决问题．
（4）分三种情形讨论①QA=AB．②QB=AB．③QA=QB，分别求解即可．
（5）方程三种切线讨论说明即可．

解答 解：（1）把点B（4，1）代入y=$\frac{k}{x}$得k=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$，
把A（1，n）代入y=$\frac{4}{x}$得n=4，
∴A（1，4），
把A（1.4）代入y=mx+5得到，m=-1，
∴一次函数的解析式为y=-x+5．

（2）∵A（1，4），AM⊥y轴，
∴AM=1，OM=4，
∴S_△OAM=$\frac{1}{2}$×1×4=2．

（3）如图1中，作点A关于y轴的对称点A′（-1，4），连接BA′交y轴于点P，此时PA+PB最小．

设直线BA′为y=mx+n则有$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{b=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线BA′的解析式为y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{17}{5}$，
∴点P的坐标为（0，$\frac{17}{5}$）．

（4）如图2中，∵A（1，4），B（4，1），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

①当QA=AB时，可得Q₁（0，4+$\sqrt{17}$），Q₂（0，4-$\sqrt{17}$）．
②当QB=AB时，可得Q₃（0，1+$\sqrt{2}$），Q₄（0，1-$\sqrt{2}$），
③当QA=QB时，Q₅（0，0）．
综上所述，满足条件的点Q坐标为Q₁（0，4+$\sqrt{17}$），Q₂（0，4-$\sqrt{17}$）．Q₃（0，1+$\sqrt{2}$），Q₄（0，1-$\sqrt{2}$），Q₅（0，0）．

（5）如图3中，

①当∠EAB=90°，可得E₁（0，3）．
②当∠EAB=90°，可得E₂（0，-3）．
③以AB为直径的圆以y轴没有交点，可知在y轴上不存在点E，使得E，A，B为顶点的三角形是直角三角形．
综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，3）或（0，-3）．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．