已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点O及点A．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标,(2)如图1.设抛物线的对称轴与x轴交于点E.将直线y=2x沿y轴向下平移n个单位后得到直线l.若直线l经过C点.与y轴交于点D.且与抛物线的对称轴交于点F．若P是抛物线上一点.且PC=PF.求点P的坐标,中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线.求新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标．(直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知抛物线y=ax²+bx+c经过原点O及点A（-4，0）和点C（2，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，将直线y=2x沿y轴向下平移n个单位后得到直线l，若直线l经过C点，与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点F．若P是抛物线上一点，且PC=PF，求点P的坐标；
（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，求新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标．（直接写出结果，不要解答过程）

分析（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点极坐标；
（2）根据待定系数法，可得直线l的解析式，根据中点坐标公式，可得D是CF的中点，根据勾股定理，可得EF，EC，根据线段垂直平分线的性质，可得ED是线段CF直平分线，根据解方程组，可得P点坐标；
（3）根据平移，可得新抛物线，根据平行于直线与抛物线相切的点到直线的距离最短，可得切线，根据解方程组，可得答案．

解答（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过原点O及点A（-4，0）和点C（2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+x；
∵y=$\frac{1}{4}$x²+x=$\frac{1}{4}$（x+2）²-1，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，-1）；
（2）如图1：

直线l的解析式为y=2x-n，
∵直线l过点C（2，3），
∴n=1，
∴直线l的解析式为y=2x-1，当x=0时，y=-1，即D（0，-1）．
∵抛物线的对称轴为x=-2，
∴E（-2，0）．
当x=-2时，y=2x-1=-5，即F（-2，-5），
∴CD=DF=2$\sqrt{5}$，
∴点D是线段CF的中点，
∵C（2，3），
∴EF=EC=5，
∴ED垂直平分CF．
∴PC=PF，
∴点P在CF的垂直平分线上，
∴点P是抛物线与直线ED的交点．
ED的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1．
联立抛物线与ED，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-3+\sqrt{5}}\\{{y}_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3-\sqrt{5}}\\{{y}_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
点P的坐标（-3+$\sqrt{5}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）或（-3-$\sqrt{5}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）；
（3）如图2：

移后的抛物线为y═$\frac{1}{4}$x²+x+4
平行于CD与物线相切的直线为y=2x+b，
联立，得$\frac{1}{4}$x²+x+4=2x+b
方程有相等二实根，得
△=b²-4ac=（-1）²-4×$\frac{1}{4}$（4-b）=0
解得b=3．
$\frac{1}{4}$x²-x+1=0，
解得x=2，y=2x+3=7，
新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标是（2，7）．