Question

13．定义：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），对于给定的实数a，b，作a|x_M-x_N|+b|y_M-y_N|为M，N的权重为a，b的直角距离，记为d_xy（M，N），例如：d_2，3（（1，0），（4，7））=2|1-4|+3|0-7|=27．
特别地，权重为1、1的直角距离，又称为等权重距离，则记为d（M，N），例如：d（（1，0），（4，7））=|1-4|+|0-7|=10．
根据以上定义，回答以下问题：
（1）d（（0，0），（-3，-2））=5，d_3，2（（0，0），（-1，2））=7．
（2）P为直线y=2x+4上一动点，求OP的等权重距离的最小值及此时P点的坐标；
（3）P为直线y=2x+4上一动点，Q为以O为圆心的单位圆上的动点，则d（P，Q）的最小值是$\frac{12}{5}$-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，d_3，2（P，Q）的最小值是$\frac{32}{5}$-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）根据给定的实数a，b，作a|x_M-x_N|+b|y_M-y_N|为M，N的权重为a，b的直角距离，记为d_xy（M，N），可得答案；
（2）由于P在直线y=2x+4上，所以可以先设P（x，2x+4），用x表示出OP的等权重距离，由于结果带绝对值，所以需分类讨论，从而得出最小值，最后求P的坐标；
（3）根据解方程组，可得OP与等圆的交点Q，根据权重为1、1的直角距离，又称为等权重距离，则记为d（M，N），可得答案，根据a|x_M-x_N|+b|y_M-y_N|为M，N的权重为a，b的直角距离，记为d_xy（M，N），可得答案．

解答 解：（1）d（（0，0），（-3，-2））=|0+3|+|0+2|=5，
d_3，2（（0，0），（-1，2））=3|0-（-1）|+2|0-2|=7，
故答案为：5，7；
（2）设P坐标为（x，2x+4），则：
d（（0，0），（x，2x+4））=|x|+|2x+4|．
直线y=2x+4与x轴的交点为（-2，0）
①当x≥0时，d（（0，0），（x，2x+4））=|x|+|2x+4|=x+2x+4=3x+4≥4；
②当-2≤x＜0时，d（（0，0），（x，2x+4））=|x|+|2x+4|=-x+2x+4=x+4，此时2≤d（（0，0），（x，2x+4））＜4；
③当x＜-2时，d（（0，0），（x，2x+4））=|x|+|2x+4|=-x-2x-4=-3x-4＞2．
即当x=-2时，OP的等权重距离的最小值，此时P（-2，0）
（3）如图2：
，
由（2）知P（-$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$），
联立OP、单位圆，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{y=\frac{\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$，
即Q（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
d（P，Q）的最小值是=|-$\frac{8}{5}$-（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）|+|$\frac{4}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$|=$\frac{8}{5}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{4}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{12}{5}$-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
d_3，2（P，Q）的最小值是=3|-$\frac{8}{5}$-（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）|+2|$\frac{4}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$|=$\frac{24}{5}$-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$+$\frac{8}{5}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{32}{5}$-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{12}{5}$-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{32}{5}$-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用了a|x_M-x_N|+b|y_M-y_N|为M，N的权重为a，b的直角距离，记为d_xy（M，N），垂线段的性质，解方程组，确定Q、P点坐标是解题关键．