Question

13．已知关于x的方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个非零实数根为α、β，则关于x的方程c（x+m）²+b（x+m）+a=0的根为$\frac{1}{α}$-m，$\frac{1}{β}$-m．

Answer 1

分析 将已知方程变形为a+$\frac{b}{x}$+$\frac{c}{{x}^{2}}$=0，则由方程的解的定义得到关于x的方程cx²+bx+a=0的两根为$\frac{1}{α}$、$\frac{1}{β}$，所以将（x+m）看作一个整体，可以得到：x₁+m=$\frac{1}{α}$，x₂+m=$\frac{1}{β}$，不难求得关于x的方程c（x+m）²+b（x+m）+a=0的根．

解答 解：∵ax²+bx+c=0（a≠0），
∴a+$\frac{b}{x}$+$\frac{c}{{x}^{2}}$=0，
又∵关于x的方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个非零实数根为α、β，
∴a+$\frac{b}{α}$+$\frac{c}{{α}^{2}}$=0，a+$\frac{b}{β}$+$\frac{c}{{β}^{2}}$=0，
∴关于x的方程cx²+bx+a=0的两根为$\frac{1}{α}$、$\frac{1}{β}$，
∵c（x+m）²+b（x+m）+a=0，
∴x₁+m=$\frac{1}{α}$，x₂+m=$\frac{1}{β}$，
则x₁=$\frac{1}{α}$-m，x₂=$\frac{1}{β}$-m．
故答案是：$\frac{1}{α}$-m，$\frac{1}{β}$-m．

点评 本题考查了一元二次方程的解的定义．根据题意得到关于x的方程cx²+bx+a=0的两根为$\frac{1}{α}$、$\frac{1}{β}$是解题的难点．